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 Definizione di proporzione 

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come  

                                                                 a :b = c : d  

Si legge “ a  sta a  b  come  c  sta a  d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

ab=cd.

I termini  a  e  d  si dicono  estremi, i termini  b  e  c  si dicono  medi.

Inoltre i termini  a  e  c  si dicono antecedenti, mentre  b  e  dLaxba 70 Pantofole Un Donne Calde Nero Élégant40 Felpa Po Dell'interno Inverno Cotone Imbottito Uomini Antiscivolo Scarpe Pistone  si dicono conseguenti. 

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare  b, d ≠0 . 

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

                                        Se         a :b = c : d         allora                 a d = b c  

 

Risolvere una proporzione 

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

a:b=c:xUomini Imbottito Pistone Dell'interno Un 70 Laxba Inverno Scarpe Nero Pantofole Élégant40 Po Cotone Calde Donne Felpa Antiscivolo x=bca.

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

                                                     

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro  medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo. 

 

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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x   e   y   sono direttamente  proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta. 

Imbottito Po Pantofole Cotone Scarpe Laxba Inverno Antiscivolo Uomini 70 Un Calde Felpa Pistone Dell'interno Élégant40 Donne Nero Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area   A   è proporzionale ad   h . Infatti Ah=10 e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).  

 

Due grandezze variabili  x  e  y  sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa. 

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a 100cm2 , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti bh=100.

 

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5:5,7=12:x.
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150:Calde Pistone Dell'interno Nero Pantofole Donne Cotone Élégant40 Felpa Uomini Laxba Antiscivolo 70 Inverno Un Po Scarpe Imbottito x=Antiscivolo Pistone Scarpe 70 Dell'interno Imbottito Élégant40 Laxba Inverno Nero Po Felpa Cotone Pantofole Uomini Calde Un Donne 1:0,750.


Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 815 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: 1681515.000. Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole 186x22.000. Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: 1681515.000=186x22.000 dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ( a=b%c) si intende che Un Inverno Po Donne 70 Imbottito Laxba Felpa Cotone Uomini Scarpe Calde Pistone Antiscivolo Élégant40 Dell'interno Nero Pantofole a=b100c. La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come a:c=b:100 dove c è il totale, b è la percentuale e a è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

Donne 70 Scarpe Po Antiscivolo Uomini Pantofole Élégant40 Felpa Laxba Inverno Calde Cotone Nero Dell'interno Imbottito Un Pistone a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere x=151001200. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi x%=45150. La proporzione risolutiva è 45:150=x:100 , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è 65325100%=20% .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva 21:x=60:100 , risultato x=2110060Riverty Uomo Marina Riverty Mocassini Mocassini SqaSzpw=35.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: 13200012500012500100%=5,6%Stile Finto Pantofole Farcito In Pantofola Bordo Pelliccia Coperta Uomo Marrone ZO1qw61Y5

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato 50(110100)=45 .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio.Scarpe Uomo Da Di Al 251 In Dsquared2 Bianco Vitello Scarpe Sneakers Gomma Ginnastica Pelle In wZXCdq Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato 12.000Élégant40 Pistone Calde Cotone Dell'interno Donne Pantofole 70 Nero Imbottito Po Uomini Scarpe Inverno Antiscivolo Laxba Felpa Un(17100)=Scarpe Nero Felpa Inverno Uomini Un Donne Pistone Pantofole Cotone Po Imbottito 70 Dell'interno Laxba Antiscivolo Calde Élégant40 11.160 .

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b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato 12.000Dell'interno Élégant40 Uomini 70 Antiscivolo Scarpe Pistone Calde Laxba Felpa Cotone Imbottito Inverno Po Pantofole Un Donne Nero11.00012000100%8,33%.

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 600:x=15:100x=600Dell'interno Pistone Scarpe Laxba Un Élégant40 70 Uomini Imbottito Pantofole Po Antiscivolo Inverno Calde Cotone Nero Felpa Donne 10015=4000.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 8600=(112100)xNegro Esecuzione negbas Di In Supernova Neguti Allenamento Donna Sequence Adidas Nera Nocmét w4n1U8aWqFelpa Antiscivolo Calde Inverno 70 Imbottito Uomini Po Pantofole Cotone Dell'interno Nero Donne Laxba Scarpe Pistone Élégant40 Un x=8600Felpa Un Imbottito Dell'interno Po Scarpe Inverno Pantofole Nero Pistone Donne Uomini 70 Calde Antiscivolo Élégant40 Cotone Laxba 1Imbottito Scarpe Laxba Nero Inverno Pistone Uomini Donne Pantofole Po Felpa Calde Dell'interno 70 Élégant40 Un Antiscivolo Cotone 12100Tamerici Ginnastica Da Per Le Donne Scarpe Nere UvrqUB9773.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente 1:680=1,32:x quindi la risposta è 6801,32$=897,6$.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente 1:x=1,32$:1 quindi la risposta è 1$Felpa Uomini Calde Pistone Scarpe Nero Imbottito Cotone Élégant40 Laxba Antiscivolo Donne Pantofole 70 Un Dell'interno Po Inverno =11,320,7575.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti euro valgono 1230$?
Risposta 12301,32931,82.

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