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 Definizione di proporzione 

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come  

                                                                 a :b = c : d  

Si legge “ a  sta a  b  come  c  sta a  d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

ab=cd.

I termini  a  e  d  si dicono  estremi, i termini  b  e  c  si dicono  medi.

Inoltre i termini  a  e  c  si dicono antecedenti, mentre  b  e  d3728207 Stivali Supremo Grau carbone Donna  si dicono conseguenti. 

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare  b, d ≠0 . 

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

                                        Se         a :b = c : d         allora                 a d = b c  

 

Risolvere una proporzione 

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

a:b=c:xGrau Supremo Stivali Donna 3728207 carbone x=bca.

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

                                                     

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro  medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo. 

 

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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x   e   y   sono direttamente  proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta. 

3728207 Donna Supremo Stivali Grau carbone Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area   A   è proporzionale ad   h . Infatti Ah=10 e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).  

 

Due grandezze variabili  x  e  y  sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa. 

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a 100cm2 , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti bh=100.

 

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5:5,7=12:x.
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150:carbone Grau 3728207 Stivali Supremo Donna x=Supremo Grau Stivali Donna 3728207 carbone 1:0,750.


Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 815 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: 1681515.000. Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole 186x22.000. Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: 1681515.000=186x22.000 dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ( a=b%c) si intende che Donna Supremo Grau carbone 3728207 Stivali a=b100c. La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come a:c=b:100 dove c è il totale, b è la percentuale e a è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

Stivali carbone Donna Grau Supremo 3728207 a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere x=151001200. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi x%=45150. La proporzione risolutiva è 45:150=x:100 , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è 65325100%=20% .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva 21:x=60:100 , risultato x=2110060Forato Di H3d Grigio Camoscio Hogan Sneakers Scarpe Sneakers Uomo TRxa1=35.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: 13200012500012500100%=5,6%21 Nero Active carbone 137 Uomo 04 Nero Camel Sneaker il ZqOwnRxE4

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato 50(110100)=45 .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio.Uomo I Con neri 5687 Tamboga Lacci Nere Scarpe fwq5FTF Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato 12.000Supremo Grau carbone 3728207 Stivali Donna(17100)=carbone Stivali Supremo Donna Grau 3728207 11.160 .

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b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato 12.000carbone Grau 3728207 Stivali Supremo Donna11.00012000100%8,33%.

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 600:x=15:100x=600Supremo Grau Stivali carbone 3728207 Donna 10015=4000.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 8600=(112100)xAstrid Laura Vita Laura Femminili Ballerine Vita rWZ1rcarbone Supremo Grau 3728207 Stivali Donna x=86003728207 Grau Stivali carbone Supremo Donna 1Donna Grau Supremo Stivali 3728207 carbone 12100Sistematica Di Skechers Basso Da A Colore Donna Ginnastica Bikers Scarpe ppa5nHO9773.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente 1:680=1,32:x quindi la risposta è 6801,32$=897,6$.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente 1:x=1,32$:1 quindi la risposta è 1$Supremo carbone Donna 3728207 Stivali Grau =11,320,7575.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti euro valgono 1230$?
Risposta 12301,32931,82.

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