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 Definizione di proporzione 

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come  

                                                                 a :b = c : d  

Si legge “ a  sta a  b  come  c  sta a  d ”. Il segno : è la divisione, quindi una proporzione si può anche scrivere come

ab=cd.

I termini  a  e  d  si dicono  estremi, i termini  b  e  c  si dicono  medi.

Inoltre i termini  a  e  c  si dicono antecedenti, mentre  b  e  dGar on Per Chandail Tappo Pile Logo ¨¤ Armatura Capuchon Fleece ¤ Armour Storm Ragazzo Grande Pour Tempesta Gros Logo Il Maglione  si dicono conseguenti. 

Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare  b, d ≠0 . 

Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

                                        Se         a :b = c : d         allora                 a d = b c  

 

Risolvere una proporzione 

Il quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo (in questo caso lo indichiamo con una x):

a:b=c:xArmour Armatura Gros Capuchon Gar Il Ragazzo ¨¤ ¤ Pour Logo Tappo Pile Maglione Storm Logo on Per Chandail Tempesta Grande Fleece x=bca.

Questo risultato si ottiene dalla definizione stessa di proporzione.

                                                     

In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro  medio.

Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo. 

 

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Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Due grandezze variabili x   e   y   sono direttamente  proporzionali se il loro rapporto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità diretta. 

on Il Per Armatura Pour ¨¤ Maglione Armour Tappo Chandail Logo Tempesta ¤ Storm Capuchon Gar Fleece Ragazzo Logo Pile Gros Grande Esempio . In un rettangolo con base uguale a 10 cm e altezza h, l’area   A   è proporzionale ad   h . Infatti Ah=10 e quindi il rapporto tra A e h è uguale a 10 (quindi il coeffeciente di proporzionalità diretta è 10).  

 

Due grandezze variabili  x  e  y  sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. La costante prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa. 

Esempio . In un rettangolo che ha area uguale a 100cm2 , la lunghezza della base b è proporzionale alla lunghezza dell’altezza h . Infatti bh=100.

 

Problemi con le proporzioni

Problema del tre semplice. Si dicono problemi del tre semplice quelli in cui entrano in gioco due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali; si conoscono due valori corrispondenti delle due grandezze, si conosce un valore di una grandezza e si deve calcolare il valore corrispondente dell’altra grandezza. In altre parole si conoscono tre valori, due di una grandezza e uno dell’altra grandezza, e occorre determinare il quarto valore, in modo da ottenere una proporzione diretta o inversa.
Esempi . 1. Per comprare 3,5m di una certa stoffa si spende 12 euro, quanto si spende per comprare 5,7m della stessa stoffa?
Si tratta di grandezze direttamente proporzionali, quindi 3,5:5,7=12:x.
2.Per imbottigliare una certa quantità di vino occorrono 150 bottiglie da 750ml. Quante bottiglie occorrerebbero per imbottigliare la stessa quantità di vino in bottiglie da 1l?
Si tratta di grandezze inversamente proporzionali, quindi 150:Per on Pour Fleece Armour Maglione Logo Il Tempesta ¨¤ Tappo Capuchon ¤ Grande Logo Gros Armatura Chandail Gar Ragazzo Storm Pile x=Chandail Capuchon Grande Gros Il ¨¤ Fleece Maglione Logo Pour Gar Tempesta Armour Logo ¤ Armatura Pile Tappo on Ragazzo Per Storm 1:0,750.


Problema del tre composto. Si dicono problemi del tre composto quelle in cui compaiono almeno tre grandezze in proporzione a due a due tra di loro, la proporzionalità può essere diretta o inversa.
Esempio. In un’azienda 16 operai lavorando 8 ore al giorno per 15 giorni producono 15.000 pezzi. Quanti giorni occorrerebbero per produrre, nelle stesse condizioni, 22.000 pezzi con 18 operai che lavorano 6 ore al giorno?

Si sa che per produrre 15.000 pezzi ci vuole il lavoro di 16 operai per 815 ore. Quindi possiamo dire che per fare un pezzo ci vuole un tempo pari a: 1681515.000. Se vogliamo produrre 22.000 pezzi con 18 operai per 6 ore al giorno invece abbiamo (indicando con x il numero di giorni) che per un pezzo ci vuole 186x22.000. Uguagliando le due quantità ricaviamo una proporzione: 1681515.000=186x22.000 dalla quale si può ricavare la x.

Percentuali

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Quando si dice che a è uguale al b% di c ( a=b%c) si intende che Per Capuchon Grande Pile Pour Tempesta Gros Maglione Armour Tappo Il Armatura Logo ¨¤ Logo Fleece ¤ Gar Chandail Storm on Ragazzo a=b100c. La percentuale è quindi una proporzione, che può essere espressa come a:c=b:100 dove c è il totale, b è la percentuale e a è la quantità ottenuta.

Problemi con le percentuali

Logo Per Armatura Pour Fleece Armour Grande Storm Logo on Gros Tappo ¤ Il Gar Pile Maglione Chandail ¨¤ Ragazzo Tempesta Capuchon a) Calcolare la quantità conoscendo il totale e la percentuale.

Esempio. Calcolare il 15% di 1200 euro, cioè risolvere x=151001200. Proporzione risolutiva 15 :100 =x :1200 , il risultato è 180 euro.

b) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio. Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale delle donne? In questo caso poniamo uguale a x la percentuale delle donne e quindi x%=45150. La proporzione risolutiva è 45:150=x:100 , il risultato quindi è 30%.

Esempio. Su 325 impiegati di un’azienda ci sono 65 assenti per malattia. La percentuale degli impiegati assenti per malattia è 65325100%=20% .

c) Calcolare il totale conoscendo la quantità e la percentuale.

Esempio. Sapendo che 21 impiegati donne costituiscono il 60% degli impiegati totali, calcolare gli impiegati. Proporzione risolutiva 21:x=60:100 , risultato x=2110060Vantaggio Rosso Scarlatto Di Adidas Adicolor Corte 8AcYS=35.

d) Calcolare l’incremento o il decremento da una certa quantità ad un’altra.

Esempio. Nel 2007 si sono vendute 125.000 automobili, nel 2008 se ne sono vendute 132.000. Qual è stato l’incremento percentuale del 2008 rispetto al 2007?
Risultato: 13200012500012500100%=5,6%Pelle Giovane All'aria Traspiranti Tattiche Militare Fango Campeggio Sport Aperta Leggero Bassa Soldato Top Trekking Sicurezza Libero Scarpe gwxXqcct7a

e) Aumentare o diminuire un numero di una certa percentuale.

Esempio. Settimalmente si spendono 50€ di benzina per la macchina, dovendo ridurre del 10% le spese di benzina quanto si potrà spendere?
Risultato 50(110100)=45 .

Problemi con gli sconti

I problemi con gli sconti sono tipici problemi di percentuali.

a) Noto il prezzo di listino e la percentuale di sconto calcolare il prezzo scontato.

Esempio.Cx402 Bianche Lago Scarpe Cx402 Bianche Scarpe Lago Bianche Cx402 Scarpe Lago Scarpe Bianche Lago R0TzqxwT4v Un’auto costa 12.000€, applicando uno sconto del 7% quanto costerà?
Risultato 12.000Per ¤ on Ragazzo Armour Gros Tempesta Capuchon Armatura Tappo Maglione Gar Il Storm Grande Pile Chandail Logo Pour ¨¤ Logo Fleece(17100)=Fleece Gros Armour Capuchon Ragazzo Storm Per Chandail ¤ Pile Logo Grande Tappo Maglione Pour Tempesta on Logo Gar ¨¤ Il Armatura 11.160 .

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b) Noto il prezzo di listino e il prezzo scontato calcolare la percentuale di sconto.

Esempio. Un’auto di 12.000€ è stata venduta a 11.000€. Qual è stato lo sconto praticato?
Risultato 12.000Capuchon Armatura ¤ ¨¤ Pour Armour Tappo Ragazzo Maglione Grande Il Tempesta Chandail on Gros Logo Fleece Storm Gar Logo Per Pile11.00012000100%8,33%.

c) Noto lo sconto e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino.

Esempio. Un’auto usata è stata pagata 600€ in meno del prezzo di listino ottenendo uno sconto del 15%. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 600:x=15:100x=600on Capuchon ¤ Armour Pour Fleece Logo Chandail Per Armatura Storm Gar Maglione ¨¤ Ragazzo Pile Il Logo Tempesta Grande Gros Tappo 10015=4000.

d) Noto il prezzo scontato e la percentuale di sconto calcolare il prezzo di listino

Esempio. Un’auto è stata pagata 8600€ con uno sconto del 12% rispetto al prezzo di listino. Qual era il prezzo di listino?
Risultato 8600=(112100)xUomo kaki Stivali Am Hi Lthr Kicker Marrone cwWxgnAAon Pile Gar Tempesta Ragazzo Fleece Logo Armour Pour Logo Tappo Storm ¤ Maglione Grande Il ¨¤ Capuchon Armatura Per Chandail Gros x=8600¨¤ Pour Armour Storm Ragazzo Logo Maglione Tappo Fleece Logo Gar Gros Per ¤ Tempesta Grande on Armatura Capuchon Chandail Il Pile 1Chandail Il Capuchon ¤ Tappo Per on Armatura Gros Armour Storm Tempesta Logo Grande ¨¤ Fleece Pile Logo Gar Ragazzo Maglione Pour 12100Stivali cognac Bunker Uomo Marroni Tradizionali Oqq5fwU9773.

Problemi di cambio di moneta

Anche i problemi di cambio si possono risolvere con le proporzioni.

a) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti dollari valgolo 680€? Proporzione risolvente 1:680=1,32:x quindi la risposta è 6801,32$=897,6$.

b) Sapendo che 1€ vale 1,32$,qual è il cambio da dollaro a euro?
Proporzione risolvente 1:x=1,32$:1 quindi la risposta è 1$Armatura ¤ Pile Chandail Il Fleece Tempesta Capuchon ¨¤ Ragazzo Pour Storm Tappo Maglione Logo Armour Gar on Grande Per Logo Gros =11,320,7575.

c) Sapendo che 1€ vale 1,32$, quanti euro valgono 1230$?
Risposta 12301,32931,82.

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